简述数系的五次扩充的过程

简述数系的五次扩充的过程

具体内容：

1、从数系A扩充到数系B必须是A真包含于B，即A是B的真子集。

2、数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算，且这些运算对于B中A的元来说与原来A的元间的关系和运算相一致．

3、A中不是永远可行的某种运算，在B中永远可行，例如，实数系扩充为复数系后，开方的运算就永远可行．再如，自然数系扩充为整数系后，减法的运算就能施行等．

4、 B是满足上述条件的惟一的最小的扩充，例如，自然教系只能扩充为整数系，而不能一下子扩展为实数系。

数怎么不够用了 数系的扩充发展史

先是有自然数。自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2， 3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。
由2+3=5产生了加法的概念，2加几等于1呢？由此就产生了减法的概念。然后有些自然数的减法做不了，如2+x=1在自然数集中找不到根。为了能找到根，要定义负整数，负整数自然数统称整数，数系就扩充到了整数。于是2+x=1在整数范围内找到根x=-1。使得加减法得到封闭。
连续的相加就产生乘法的概念。2个几相加等于1呢？于是就有了倒数和除法的概念。但是这个问题在整数集中找不到这个数。为了使除法有逆元，要定义分数，整数和分数统称有理数。于是数系就扩充到了有理数，这就使所有的加减乘除法都能在有理数集中找到逆元。如2x=1在有理数范围内找到根x=0.5。
连续的相乘产生了乘方的概念。如2^3表示2连乘3次等于8，但是哪个数连乘两次等于2呢？于是就定义了开方以及方根的概念，接着有理数又不够用了，因为x^2=2在有理数集中找不到根，所以要定义无理数，无理数和有理数统称实数，于是x^2=2在实数范围内能找到两个根x=±√2。实数使得所有正数的乘方开方得到封闭。于是数系就扩充到了实数。
后来实数也不够用了，因为任何实数的两次方都是非负数，因此x^2=-1在实数集就找不到根。需要定义虚数，虚数和实数统称为复数，定义虚数后，x^4=-1找到了四个根x=±√2/2±√2/2i，2^x=-1就找到根x=e+πi/ln2了。并且高次方程都能找到其他的根了。如x^3=1找到了另外两个根x=1/2±√2/2i，复数使得所有数加减乘除乘方开方以及三角函数，指数函数，对数函数等运算都得到了封闭性。使得数域的运算得到了完善。

结合数系的扩充原因和过程,谈谈你对数的认识.(不少于800字)作文题目自拟

人类对世界的探索永不停息.
最先,人脑不够发达,开始只能用较少的自然数描述自然现象,比如一个太阳,一个月亮,两只手,9个贝壳；接下来0-9自然数不够用了,就逐步采用“十进制”,描述如月亮大致28天围绕地球一圈之类,打猎了13只野猪；然后进而百位千位万位等等；------自然数的扩种
生产分工之后,5个人外出打猎；饿3只猎物,这下不够分了,于是小数分数就该产生了；----有理数
河流三角洲地带,夏秋涨水,冬春退水后,土地肥沃可耕种半年,土地不规则使得几何学大大发展,但计算直角三角形的时候,比如直角边为2,3,斜边就不能用整数和分数表示出来,圆周率π也不能用整数和分数表示出来.---无理数出现了-------扩充到了实数概念.
整数都能开方,那么-1开根号呢?于是复数就应运而生.
数的认识发展过程也是随人类文明发展过程中源于实践而提炼成理论的过程.换句话说,人类的社会实践需要促进了数的发展,数的发展同样促进人类的进步.
其他自己写吧

数系的扩充

  我们现在是经常会用到数字的，像测量、计算、记账等等都需要用到数字，所以它在我们生活中是很常见的。但是在古代，是不存在数字的，人们那个时候还没有发明数字。但是从他们发明自然数开始，就对数系的认知不断扩展，那么古人是怎么研究出数字的呢？

  首先，人们每天都需要打猎，需要吃饱。但是数据太乱就没法分配猎物了。为了解决这个统计问题，人们发明了“1、2、3”等数字，这就是以“1”为计数单位的自然数。人们开始用到这种数：统计猎物数量的时候，他们就会使用自然数。例如：今日打到了一只羊，两条狗、三只猪、四只鸟——自然数给人们统计猎物的困扰带来了很大的帮助，而人们现在就会用系绳子，小木棒，以及摆石子等方式来统计它。

 但是人们又遇到了问题，有时候他们的猎物不能在以自然数为份数的情况下来均分每个人的猎物，可能打到了一只老虎却要平均分给四个人。这要怎么分呢？

 他们想到可以把猎物本体分开，如果要把一只猎物平均分给一些人，那么分的份数就是这些人的人数，每个人都会得到相等的一份。猎物是一个整体，也就是单位1，要平均分给四个人，就是1÷4，答案就是四分之一，每个人平均分到这只猎物的四分之一，这就是分数的概念。在遇到某些整体不能平均分的情况下，就能用分数解决这个问题。

 另一种数系——小数，它并不代表一个整体，有时候会多出或者少一部分，但是这一部分不到一个整体，就比如说1.3，除了整体1以外，还多出了0.3一部分，但是它并不到一个整体。这种数系解决了古人统计猎物时遇到的“有些猎物不是整体”的问题。

 但是在实践中，人们经常会遇到借贷等商品交换问题，他们不知道如何区分盈利与亏空。况且很多数学家在解方程组的时候，往往会遇到一个数减去比它更大的数，例如：1-2。那么人们就发明了负数的概念。负数小于零，它与正数（比零大的数）是一对意义相反的量，比如：-1和1就是一对意义相反的量。人们把收入记为正数，支出记为负数。如果你得到了10块钱，那么就用正数表示+10；如果你支了出了10块钱，那么就用负数表示。

  人们已经出了这么多数系，他们对数的认知就不限制在自然数了，他们把数系从自然数扩充到有理数。当时，那些人以为所有的数都是有理数，他们认为所有的数都可以表示成整数或者两数之比。

  但是在公元400年前，数学家希帕索思发现了一个令人费解的“问题”：一个边长为1的正方形的对角线，是不能用整数和分数来表示的，所以这个数很奇怪。这个问题彻底打破了人们对数系的认知，希腊人已经以“所有的数都是有理数”为他们的信仰。由此引发了一次数学危机，希帕索思也被推入海中。

 但是这还没完。有一名叫攸多克萨斯的学生创造了新的比例理论。这个时候，人们才开始相信无理数的存在。他们对数系的认知中又多了这一点，所以他们再次将数系扩充，已经扩充到了实数。实数分为有理数和无理数，其中有理数又分为两类：整数和分数。整数分为两类：正整数和负整数。分数也分为两类：正分数和负分数。

 但是数学世界又出现了一种矛盾：X的平方+1=0。数学家们认为，这种方程在数学领域无解。这确实令人费解，那么我们怎么才能解决这个方程，并推出它的原理呢？

声明： 我们致力于保护作者版权，注重分享，被刊用文章因无法核实真实出处，未能及时与作者取得联系，或有版权异议的，请联系管理员，我们会立即处理，本站部分文字与图片资源来自于网络，转载是出于传递更多信息之目的,若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请立即通知我们(管理员邮箱：daokedao3713@qq.com)，情况属实，我们会第一时间予以删除，并同时向您表示歉意,谢谢!