商集的定义是什么(简述数系的五次扩充的过程)

商集的定义是什么

商集，是集合论的基本概念之一，指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。

设X是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于X的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于X的商集合，简称为商集。

简述数系的五次扩充的过程

浅谈数系与数系的扩充
郭民
(东北师范大学长春130024)
1数的起源与数系的发展
i.i自然数的产生
远古人类如何创造了数已不可考，今天只能进行一些猜测:人类的祖先在起初时，也许只会用物物逐
一比较的办法来分别多少，以后又学会了物与第三者(如人的手指，墙上的刻痕或悬挂的绳索等)来进行
间接的比较，从而逐渐产生了不依附于具体对象的“个数”概念。随着生产和交换活动的不断扩大，这种
“个数”概念也就逐渐被赋予了某种记号或语音，这就产生了最早的数。人类最初掌握的数是很少的，在近
代残存的原始部落中，人们发现他们所掌握的数均未超过二十，这大概与人的手指和脚趾的总数是二十
有关。随着人类社会的进步，数也不断地发展完善，其中应当提一下的是进位记数法的产生。进位记数法，
就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，去表示不同的数(如现在运用的十进位法)。进位记数法
的产生，使得记数的范围得到无限的扩大，也使复杂的算术运算有了实施的可能。这标志着人类掌握的数
的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的这个数系，就
是常说的自然数系。当然，自然数系远远不是完美无缺的。由于自然数系是一个离散的数系，因此它只限
于去表示一个单位，为了创造一个既符合实际又满足于理论上的需要的强有力的工具，我们必须把数的
原始概念，即只把自然数当作数的这种概念，大大推广。在一个漫长而曲折的发展过程中，零、负整数、分
数逐渐取得了和正整数同样的地位;而且今天这些数的运算规则已为普通中、小学校的学生所掌握。
1.2作为度f工具的有理数
自然数是从计算有限集合的元素的个数的过程中抽象出来的。但在日常生活中，我们不仅要数单个
的对象，而且也需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。如果我们要能够自如地度量这种能任意细
分的量，就必须把算术的范围扩展到自然数的范围之外，第一步是把度量的问题变为计数的问题。首先我
们任意地选择一个度量单位，比如英尺、英寸、磅、克或秒等等，当然我们选择哪一个度量单位根据实际情
况而定，并规定此度量单位为1，然后我们数一数被度量的那个量包含了多少个单位，例如某一块金属可
能恰好是37英磅，但是一般说来，算单位的个数的过程中，某结果不一定是“正好算完”，即给定的量不一
定恰好是我们所选择的单位的整数倍。可以说，在大多数情况下它是介于这个单位的两个相邻倍数之间，
例如36磅和37磅之间。遇到这种情况时，我们可以通过把原单位分成n等分，引进一个新的小单位。即
在数学的符号体系中，把原来一个单位分为。等分而得到的小单位，用符号上来表示;如果一个给定的量
恰好包含m个小单位，它的度量将用符号m来表示。这个符号称为分数或比，人类在长期的社会生产实
践中才认识到符号m脱离了它同测量过程及被测量的量的具体关系，而被看作是一种纯粹的数，它本身
作为一个实体与自然数有同样的地位，当和是自然数时，我们称符号m称为有理数。引进有理数，除了
n
有其“实际”的原因而外，还有一个更内在的，从某些方面来看甚至是更为迫切的理由就是运算的封闭性。
在通常的自然数的算术中，我们总能进行两个基本运算:加法和乘法，但是“逆运算”减法和除法并不总是
可行的。两个整数a,6的差6-a是一个使得a+c=6的整数。，即方程a+x=6有解。但在自然数的范围内，符
号b-a仅限于6>a时才有意义，因为只有这时方程a+x=b才有一个自然数的解x，通过引进了符号一1,-2,
-3 } ..，以及对6 <a的情况，定义6-a=一(a-的这就保证了减法能在正整数和负整数范围内无限制地进行。
为了在一个扩大了的既包括正整数，又包括负整数的算术中引进新的符号一1,-2,-3,}}}，当然我们必须定
义它们的运算，使得算术运算原来的规律保持不变。因为在这种扩大了的数的范围内，不仅形式上的结合
律、交换律和分配律成立，而且方程a+x=6和。=6不受限制地总有解二二6-。和鱼(a}0)。通过引进新的
a
符号，扩充一个范围，使得在原来范围内成立的规律，在这更大的范围内继续成立，这是数系扩充的一个
特征。从自然数扩充到有理数，既满足去掉减法和除法的限制这一理论上的需要，也满足用数学来表示度
量结果这一实际上的需要。也正是由于有理数适应了这两方面的需要，这就使得有理数有了它真正的重
大意义。
I .3不可公度线段，无理数的引入
在比较两个线段a和6的长度时，可能6恰好是a的正整数倍，在这种情况下，我们可以用a来表示
线段b的度量，即b=ar(;为整数)，也可能出现a的整数倍不等于6的情况，这时我们把a分为n等分，每
一个单位长为生，使得线段生的某个整数m倍等于6。即b='"-,a-当形如此式的等式成立时，我们说两个
线段a和b是可公度的，因为它们有一公共度量线段生，它的n倍等于a，而它的m倍等于6。就度量的实
n
际目的来说，有理数完全够了，即使从理论上讲，由于全体有理点稠密地布满整个直线，似乎直线上的所
有点都是有理点。如果这是真的，则任何一条线段将和单位长线段可公度。但是情况的解决并不是这么简
单，这就是早期希腊数学最惊的发现之一。存在着不可公度线段，或者说，如果我们认为每一线段都对应
着借助于单位长度而给出的一个数，则存在着无理数。
例如，一个正方形的对角线与它的边是不可公度的，我们可以假设，给定的正方形的边是选定的单位
长，而对角线的长为:。则根据勾股定理有xz=I z+Iz=2，如果:与I是可公度的，我们就能找到两个整数P
和“，使得x=令 }P ,9“互质’。则”x=29z,由于等式右边为偶数，所以Pz为偶数，故“本身是偶数，故代人，二
2r上式得4r} _匆z}9 z_2t}9为偶数，与P,9互质矛盾!因而xz=1z+1’不成立，x不能是有理数。由此我们
得出结论:没有等于V丁的有理数。我们很容易作出许多与单位长不可公度的线段，如果在数轴上以0
为起点把这些线段标出来，则它们的端点称为无理点。用数来度量长度时我们引进了分数，现在我们要用
同样的办法来处理与单位长不可公度的线段时，即我们要将数与直线上的点之间建立对应关系，就必须
引进无理数。因此我们可以说一个无理数表示一个与单位长不可公度的线段的长度。
1.4虚数的起源与引入
人们在长期的社会实践中认识到，在数学发展史上，在数学思想的发展过程中，数学的发展以及数学
中的发明创造决不是个别人努力的结果，它们是具有继承性的逐步演化的过程的产物，而不能把主要功
劳归于某个人，为了便于作形式计算，需要用到负数和有理数，它们并不象自然数那样直观具体，直到中
世纪末，数学家们在用到这些概念时才开始失去不舒适的感觉，直到十九世纪中叶，数学家们才完全认识
到，在一个扩充的数域中的运算，其逻辑和哲学基础本质上是形式主义的;这扩充的数域必须通过定义来
创造，这些定义是随意的，但是如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质，它是毫无
用处的。这些扩充有时可以和“实际”对象相联系，通过这种方式为新的应用提供工具，这是最重要的，但
是这只能提供一种动力而不是扩充的合理性的逻辑证明。
最早要求应用复数是为了解二次方程，我们知道，线性方程。幼，这里要确定的是未知量x，方程的
解是x=牛，如果要求每一个带有整数系数a}0和6}0的线性方程有唯一解。必须引进有理数。象xZ=2
’一’‘一’一b’‘”’一’一’一‘”一”一一“’一一‘一”’一‘一’一、‘一“一’‘~’“’“一‘~‘’一’‘一一。‘-一一
这样的方程，在有理数域内不存在解x，这促使我们构造一个更广的数域，使得在这个数域中有解，然而即
使实数域也没能足以提供二次方程的完整理论，比如，x}二一1这样一个简单的方程没有实数解，因为任意
实数的平方不可能为负数。我们或者满足于宣称这个简单的方程不可解，或者按照我们所熟悉的扩充数
的概念的途径引进使得这个方程可解的数，当我们用定义i=-1引进新的符号1时，这个方程就可解了。当
然，对于把数作为计数手段这样的概念来说，这个符号1是“虚数单位”是不起作用的。这纯粹是一个符号，
它服从于基本规则i2=-1，而其价值将完全取决于究竟这个引进是否真正有用以及数系的这个扩充能不
能实现。我们通过如下定义对数的系统进行推广:一个形如a+bi的符号，其中a和6是任意两个实数，我
们称a+bi为复数。
2数系的扩充
2.1由自然数集N到整数集Z的扩充
要把自然数集扩充为整数集，需定义新数零和负整数。我们采用对原有集合划分等价类的方法进行。
我们把一个自然数“折成两个”，例如:
2=3-1=4-2=5-3=6一二}_5=g_6=...
所以自然数2对应一系列有序自然数对(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6)"""，这些数对有下
列关系:
4+1=3+2;5+2=3+4;6+3=4+5，…
因此，我们可以把一个自然数看作是有序自然数对的集合{(m,n:m>n)}，并且这个集合是一个等价
类，等价关系是:
(m,n)一伽,q )tip+n=q+m,
我们把这个等价类记为.孤下万。去掉限制m>n，我们就得到了负整数和零。
定义4在笛卡尔积NxN中定义一个关系如下:
(m,n)一((p ,q )tip+n=q+m,
则“一”为一等价关系，等价类
(m,n)={(P,q):(P}9)一(m,n)
称为整数商集。
Z=NxNI}={(蔽丽}
称为整数集。
进而可以在Z中定义加法、乘法;可以证明对加法存在零元(记作0),0软不1万，关于加法构成交换群;
还可以证明对乘法存在单位元1=.(2,1)，以及乘法对于加法是双侧分配的，因此，(Z,+,")是一个带单位
元1}0的交换环，注意到Va,6 e Z，从a"b=0可推出二0或6=0，所以(Z,+,)是一个整环。
2.2从整数集到有理数集的扩充
从自然数集扩充到整数集是为了对daeN，使加法有逆元，也即要使减法永远可施行。为了使整数集
中每一非零元关于乘法有逆元，即使除法(除数不为零)永远可施行，需将整数集再扩充为有理数集，方法
仍然是在原有集Z中引人等价关系，划分等价类。因为除数不能为零，所以要对笛卡尔积稍作处理，记Z，=
z-(o )。
在卡氏积ZxZ'中定义一关系如下:设(a,6),(c,d)eZxZ'。则(a,6)一(c,d)t}bc=ad可以证明“一”是一
个等价关系，事实上，我们有:
(1)ab=ab，所以(a,b卜(a}b)，自反性成立。
(2)若(a,6)一(c,d)，则bc=ad，所以da=cb，推出(c,d)一(a,6)，即对称性成立。
(3)若(a,b卜(c,d)且(c,d卜(e刀。则有bc=ad且de=cf}bcde=adef，即(动" (cd)二(be) " (cd)，考虑到
Z是整环，所以be=of，于是((a,6)一((e刃。即传递性成立。
定义5等价类
(a,6)二{(。,d)。ZxZ':(。,d)一(a,6)}
称为有理数，有时为了方便，将丈万两万记为_a6，商集
Q=ZxZ，一{丽或舍一Z,b·‘，}
称有理数集。
进而可在Q中定义加法(+)、乘法(·)，并可证明((Q}+)是一个交换群，(Q，·)是一个带单位元的交换
半群，(Q}+} ")是一个带单位元的交换环，还可以证明(Q’，·)(其中Q}=Q_}0))是交换群。因此(Q}+}')是
一个域，即有理数域。
2.3从有理数集到实数集的扩充
从有理数集到实数集的扩充是为了使开方运算永远可施行只是其一方面。
开方运算结果所得的数，而是有理数叫(1+ n )n} '} n-}+oo时的极限
因为像数。，它并不是一个
而√2也是有理数列:
1,1.4,1.41,1.414,}}}(√2的不足近似值所组成的数列)的极限。因此从有理数集到实数集的扩充是为了
解决极限运算封闭的问题，扩充的思想方法与从自然数集到整数集的扩充、从整数集到有理数的扩充是
类似的，只是具体做法有所不同而已。
参考文献:
[1]胡炳生等.现代数学观点下的中学数学.北京:高等教育出版社，1999.
[2]张楚廷.数学文化.北京:高等教育出版社，2000.
[3]欧阳绛.数学的艺术.北京:农村读物出版社，1997.
[4]刘意竹等.小学数学教材教法.北京:人民教育出版社，1994.

什么是等价关系有什么应用知识

等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。以下是由我整理的等价关系的内容，希望大家喜欢!

等价关系的介绍 等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。常用等价关系来划分集合，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

等价关系的定义 设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称 a 等价于 b，记作 a ~ b 。

等价关系的应用 例一：

设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下：

R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。

设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。

例二：

设 R 为定义在集合 A 上的一个关系，若 R 是自反的、对称的和传递的，则称 R 为等价关系。设 R 为集合 A 上的等价关系，对任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 称为元素 a 形成的等价类，其等价类集合 {[a] | a∈A}，称作A关于R的商集，记作 A/R。定理 3.7.1 设给定非空集合 A 上等价关系 R ，对于 a, b ∈A,有 aRb 当且仅当 [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等价关系 R ，确定了 A 的一个划分，该划分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一个划分，确定 A 的元素间的一个等价关系。

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