交换群的这个定义是什么意思

交换群的这个定义是什么意思

阿贝尔群（Abelian Group），又称交换群或加群，是这样一类群：

它由自身的集合G和二元运算构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G 有单位元、所有 G 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被彻底地研究。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。

关于换位子群2020-12-30

在群论中有以下事实

设G是群，称[a,b]=a⁻¹b⁻¹ab为换位子。G中所有的换位子生成的子群称为G的换位子群或导群，记作[G,G]。那么

【pro1】[G,G]是G的正规子群

【proof1】如图
【pro2】商群G/[G,G]是交换群。

【proof】只要证任意m，n∈G，mn[G,G]=nm[G,G]，而这等价于m⁻¹n⁻¹mn[G,G]=[G,G]。

【pro3】如果N是G的正规子群，且G/N为交换群，则[G,G]＜N

【proof】因为任意N必包含[G,G]，所以其实交换子群是使得G对它的商群为交换群的最小子群。
·  每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。

·  4次交错群的交换子群是克莱因四元群。（4次交错群是唯一不是单群的交错群）

·  n次对称群的交换子群是n次交替群。

·  四元群Q= {1, −1,i, −i,j, −j,k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

换位子群的起源可能是魔方。因为如果要使得魔方产生尽可能小的变化，其他色块不变，魔方的拧的顺序具有形式aba⁻¹b⁻¹，只不过a和b可能代表一系列操作而不是单纯的拧一下。下面以面先法的公式进行分析。

可见里面充满了换位子。

Amazing！

商环是交换的是什么意思

环R关于加法对其理想I的陪集之集合构成一个环，称为商环，商环的加法和乘法可以自然地从环R的相应运算中衍生出来。当把环R看作加群时，R是一个交换群，因此任意的理想I均是R的正规子群，从而可以定义商群R/I，商群当然也是一个交换群。