勾股定理和余弦定理的关系

勾股定理和余弦定理的关系

勾股定理和余弦定理的关系具体论证如下：

1、首先勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2、余弦定理为对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积。

3、余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

4、因此其关系为余弦定理是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

“余弦定理”是推广后的“勾股定理”，欧几里得没有认识到这一点

在数学中，某个概念、公式、定理的发现很难归功于一个时期、一个人，如，“平面”的概念从古希腊时期的朴素认识到20世纪的描述性定义跨度两千多年，“勾股定理”早在公元前2000年的古巴比伦已有记录，但第一个证明要直到公元前7世纪由毕达哥拉斯给出。同样，“余弦定理”的最终成型也经历了上千年。

欧几里得Euclid是古希腊著名的数学家，《几何原本》一书的作者，被誉为“几何学之父”；著名物理学家杨振宁“千古寸心事，欧高黎嘉陈”一诗中的“欧”指的就是欧几里得。Euclid在《几何原本》中对定理等的安排，由浅到深，从简至繁，全书主要以几何的形式呈现，也不乏有代数、数论等知识。

在《几何原本》第二卷的命题12和13中，我们能看到“余弦定理”的雏形。

命题12： 在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和还大一个矩形的二倍.即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形.【证明见附录1】

显然，《几何原本》中的这个定理是一个几何学定理，与三角学关系不大，但是请注意，命题中

,将其带入（*）易得：

不错，这就是三角学中著名的“余弦定理”。

尽管现在的我们看这些推理是简单的，但是欧几里得并没有跨出这重要的一步，另外一点也可以佐证——作为“余弦定理”重要特例的“勾股定理”、欧几里得将其放在了第一卷的最后，而锐角三角形下的“余弦定理”则放在了命题13。这样一个定理被拆分成了三个——锐角的、直角的和钝角的。这样不统一的、几何形式下“余弦定理”，需要直到15世纪才由另一位著名数学家从“三角学”的角度重新认识、并统一。

在法国，直至今日“余弦定理”仍然被叫做“卡西定理”（Theorem of Al-Kashi)，这是为了纪念给出真正意义上的“余弦定理”的阿拉伯数学家al-Kāshī。

al-Kāsh是中世纪晚期阿拉伯著名的数学家，在兀鲁伯创建的撒马尔罕天文台主持工作，并协助兀鲁伯编制了著名的《兀鲁伯星表》。

al-Kāsh的一个成就值得我们关注，这就是他在《圆周论》中从正方形出发将圆周率π精确到了小数点后16位，打破了祖冲之保持了近千年的世界纪录。

al-Kāsh还有另外两部著作：《弦与正弦之书》（The Treatise of Chord and Sine）和《算术之钥》（The Key to Arithmetic），前者第一次记录了正弦的三倍角公式：

而后者第一次给了“余弦定理”现在形式的描述。

利用三角学的一些知识，卡西将欧几里得《几何原本》中对“勾股定理”的证明图推广到了一般情形——余弦定理。

钝角的推理类似可得。

我们注意到，卡西在这里明确的用到了“余弦”这一概念，不是从纯几何，而是用到了“三角学”的相关知识。尽管没有使用符号，但卡西给了易于翻译成现代符号的“余弦定理”，并且将范围扩大到一般的三角形，即锐角、钝角、直角三角形均适用。

15世纪卡西的工作应该被16世纪的著名数学家韦达所熟知，韦达为余弦定理的推广起了促进作用。而且随着三角学成为日显重要的一门数学学科，“余弦定理”的用途也逐步凸显。

数学家们找寻了更多的方法来证明它，最成功的应该是使用向量的数量积：

这个证明很简洁，而且对于任意三角形都适用、不需要分类处理，同时，该方法还很好的连接了三角与代数。因此，人教版高中数学教材（必修5）也将其录入其中。

总的来说，"余弦定理"最早以几何形式出现在 欧几里得 的《几何原本》中，后经阿拉伯数学家 卡西 的整理将其纳入“三角学”范畴，并经 韦达 的著作强力推广，但是仍然以文字或原始符号形式出现，现在高中课本中呈现的形式大约出现在19世纪左右。

附录一：命题12及其证明

附录二：命题13及其证明

11.余弦定理

余弦定理是勾股定理最自然的推广。勾股定理讲了，直角所对的边，其上正方形与另外两边上正方形面积的关系。

那么，如果不是直角三角形？而是钝角三角形或者锐角三角形，又该如何呢？

首先，给定两边，让它们的夹角可以自由的运动。那么，第三边的长度会发生变化。《原本》第一卷第24命题定性讲解了这种变化。该命题被形象的称为“剪刀定理”，“剪刀定理”指出，张开的角度越大，第三边就越大。张开的角度越小，那么，第三边的长度越小。

那么，具体会大多少？或者小多少呢？《原本》在第二卷第12命题和第13命题详细讲解了。这个差值也通过面积来衡量。而非线段自身的长度。

张开的角度如果比直角大，那么，第三边上的正方形面积就变大，变大的面积可以用一个矩形面积的两倍来表示，矩形由夹角的一边和它在另一边上的投影线段构成。

张开的角度如果比直角小，那么，第三边上正方形面积就变小，变小的面积也是如此表示。

因此，《原本》第一卷第47命题，连同第二卷第12命题，第13命题合成现代的余弦定理。在规定一个角的余弦以后，投影线段可以用或正或负或0的数值或来表示，自动把这三种情况统一了。

很明显，当角度C为直角的时候，它的余弦为0,这就变成了勾股定理。

当C为钝角的时候，余弦为负数，减负等于加正，于是，变大。

当C为锐角的时候，整体变小。

同“剪刀定理”的描述一致。

因此，余弦定理本质上是“剪刀定理”的量化描述。

“模糊的，可以慢慢清晰;近似的，可以渐渐精确。”我的数学老师这样教导我。

余弦定理是勾股定理的推广，同时余弦定理是“剪刀定理”的精确化。

证明如下：
在三角形ABC中，角A,角B,角C所对的边为a,b,c。
以点C为坐标原点，点A置于x轴，建立平面直角坐标系，如图

则三个点的坐标如下,

由两点间距离公式有：

两边平方并整理，得到

即为

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