向量组的秩定义是什么(什么是向量组的秩？)

向量组的秩定义是什么

定义：向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

应用：有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

什么是向量组的秩？

向量没有秩，向量组才有。向量组的秩是其线性不相关的子向量组中的个数最多的一个。

令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

向量组的相关性质：

（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关。

（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性。

（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。

（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。

向量的秩的定义是什么？

定义

设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

基本性质

只含零向量的向量组没有极大无关组；

一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

相关定理

定理一

设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果

（1）向量组 a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，

（2）r>s,

那么 向量组a1,a2,…,ar必 线性相关。

推论1

如果 向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，且a1,a2,…,ar线性无关，那么r≤s。

推论2

任意n+1个n维 向量必 线性相关。

推论3

两个线性无关的 等价向量组，必含有相同个数的向量。

定理二

一 向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。

定理三

一 向量组线性无关的 充分必要条件是，它的秩与它所含向量的个数相同。

推论4

等价的向量组必有相同的秩。