卡方分布的解释

卡方分布的解释

若n个相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

「卡方分布」是什么?

卡方分布（英语：chi-square distribution[2], χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。

卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。

卡方分布在共同使用卡方检验用于拟合优度的观测分布为理论之一，独立的分类的两个标准定性数据，并在用于人口区间估计标准偏差a的来自样本标准差的正态分布。许多其他统计检验也使用这种分布，例如Friedman 的按秩方差分析。

由卡方分布延伸出来皮尔逊卡方检验常用于：

1、样本某性质的比例分布与总体理论分布的拟合优度（例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比）；

2、同一总体的两个随机变量是否独立（例如人的身高与交通违规的关联性）；

3、二或多个总体同一属性的同素性检验（意大利面店和寿司店的营业额有没有差距）。（详见皮尔逊卡方检验）

计算方法

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。

因此，由于适当自由度(df)的累积分布函数(CDF)给出了获得比该点更不极端的值的概率，因此从 1 中减去 CDF 值给出p值。低于所选显着性水平的低p值表示统计显着性，即有足够的证据拒绝零假设。显着性水平 0.05 通常用作显着和不显着结果之间的分界点。

卡方分布怎么理解?

在理论上n个独立同分布的随机变量，都服从正态分布，那么平方和服从的分布就是自由度为n的卡方分布。

若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其卡方分布分布规律称为χ2(n)分布（chisquare distribution）。

其中参数 n 称为自由度，自由度不同就是另一个χ2分布，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样。

补充：

χ2分布在一象限内，呈正偏态，随着参数 n 的增大，χ2分布趋近于正态分布。

χ2分布的均值为自由度 n，记为 Eχ2=n，这里符号“E”表示对随机变量求均值；χ2分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为 Dχ2=2n，这里符号“D”表示对随机变量求方差。

从χ2分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。

χ2分布具有可加性：若有K个服从χ2分布且相互独立的随机变量，则它们之和仍是χ2分布，新的χ2分布的自由度为原来K个χ2分布自由度之和。表示为：

χ2分布是连续分布，但有些离散分布也服从χ2分布，尤其在次数统计上非常广泛。

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