量子群是什么好象是数学的概念(量子力学（二）数学体系)

量子群是什么好象是数学的概念

量子群的定义：量子群是一系列代数结构的通称，是霍普夫代数之特例，可以看作量子化的代数。

量子群的意义：量子群表示理论可产生杨巴克斯特方程解，以此可以构造纽结的不变量。

量子群的来源：苏联数学物理学家及其合作者们在用“量子反散射方法”研究量子力学中的量子可积系统时最先提出来的。

量子力学（二）数学体系

量子力学系列第二篇：量子力学的基本假设，数学向。涉及泛函分析、谱理论。

一、数学概念：

算子就是线性空间到线性空间的映射。算子A的定义域记为D(A).

Hilbert空间就是完备的内积空间。以下简记为H.

H中的线性算子A是对称的，如果 .

H中的线性算子A是自伴的，如果 A 对称且 ，即 . 自伴是比对称更强的条件。

对称算子的性质：若A是对称算子，则 是实的。

自伴算子的定理：谱定理。即，自伴线性算子有唯一的分解 .该定理用于处理算子的特征向量无正交基的情况。有如下推论：
1 给出广义的正交本征向量；2 存在概率分布使

如果线性算子A是自伴的，且定义域是Hilbert全空间，则可证得它是有界算子。如果且稠于H，则称A是稠定的，这时他可能是无界算子。

二、量子力学公理体系：

1.每个系统对应一个可分无穷维的复Hilbert空间H，其中一元素完备的描述了系统的状态。
可分无穷维的H空间彼此等价。物理中我们常把H取为 或 ，因此把其中元素 称为波函数/态矢量。

2.每个可观测量 唯一的对应于一个H中的稠定的自伴算子A。

3.若系统的态矢量为，则可观测量 的观测期望值为 , 且 [ .

以一维空间单粒子为例。单粒子能在全空间的子集J被找到的概率为. 由于在全空间被找到的概率为1，因而 。被找到的平均位置为。不妨定义一个算子Q

于是均值可重新表述为 . 称Q为位置算符，是一个无界的自伴线性算子，定义域稠密于 .

能被实验直接测量得到的物理量称为可观测量。对于其他可观测量，也都可以引入对应的自伴稠定算子T。均值为 . 由对称算子的性质，可观测量的观测值均值为实数。

一般来说，可观测量的测量值不是确定的值。但假设3的后半句暗示了：系统处于可观测量A的本征态时，A的观测值是确定的。

同理可证，若A的本征向量有正交基，态矢量可分解为 ，则观测值为 的概率为

若本征向量不存在正交基怎么办？由谱定理，也可以得到可观测量的观测值分布。

4. 若一次观测后，对可观察量A的测量结果为 ，则测量之后系统的态应满足
这条假设说明观测后态矢量会“坍缩”到观测值对应的本征态。

5.态矢量A的时间演化方程由薛定谔方程决定。
时间演化算子使得.
经推导（Sakurai pg65），它满足。
于是解得。这称为演化算子U的薛定谔方程。

对于一初态，欲求的它演化后的，可设H的本征态和本征值，于是可求。

注1：物理书里，厄米算子是对称算子的意思，且不区分对称算子和定义更强的自伴算子。容易证明位置、动量等算符是对称的，但为了能应用谱定理，从而使本征向量完备，还需要算符是自伴的。不过当作这些算符都是自伴的就好，证明留给数学家吧

注2：量子力学的算子大多是无界算子，如位置算符、动量算符、哈密顿算符都是无界算子，所以和本科泛函分析讲的内容完美避开

参考书籍：

[1] Introductory functional analysis with applications. Erwin Kreyszig.

[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Self-adjoint_operator

[3] Modern quantum mechanics. Sakurai.

什么叫量子？

量子：震动的微粒子的解说——量子论
量子一词来自拉丁语quantus，意为“多少”，代表“相当数量的某事”。在物理学中常用到量子的概念，量子是一个不可分割的基本个体。例如，一个“光的量子”是光的单位。而量子力学、量子光学等等更成为不同的专业研究领域。
其基本概念是所有的有形性质也许是"可量子化的"。"量子化" 指其物理量的数值会是一些特定的数值，而不是任意值。例如，
在(休息状态)的原子中，电子的能量是可量子化的。这能决定原子的稳定和一般问题。
在20世纪的前半期，出现了新的概念。许多物理学家将量子力学视为了解和描述自然的的基本理论。 [编辑本段]历史量子物理是根据量子化的物理分支,在1900年以理论来建立。由于马克斯·普朗克(M. Planck)释所谓的黑体辐射。他的工作根本上合并了量子化用同样方式,到了今天它仍被使用。但他严重地冲击了古典物理学，需要了另外30年的研究,就是在量子论未确立之前。直到现在一些主张仍然不能被充分地了解。这里有很多需要学习的地方。包括科学的本质是怎么出现。
不光是普朗克对这个新概念感到困扰。当时德国物理社会中黑体研究成为焦点。在10月、11月和12月会议前夕，对他的科学同事报告公开他的新想法。就这样谨慎的实验学家(包括F. Paschen，O.R. Lummer，E. Pringsheim，H.L. Rubens，和F. Kurlbaum)和一位理论家迎接最巨大的科学革命。 [编辑本段]黑体辐射量子方程当物体被加热,它以电磁波的形式散发红外线辐射。这是了解清楚和明白最明显的重要性。当物体变得炽热，红色波长部分开始变得可见。但是大多数热辐射仍然是红外线,除非直到物体变得像太阳的表面一样热。这是当时的实验室内不能够达成的而且只可以量度部分黑体光谱。
黑体辐射量子方程是量子力学的第一部分。在1900年10月7日面世。
能量 E、辐射频率 f 及温度 T 可以被写成：
E=hf/(e^(hf/κT)-1)
h 是普朗克常数及 k 是玻尔兹曼常数。两者都是物理学中的基础。基础能量的量子是 hf。可是这个单位正常之下不存在并不需要量子化。 [编辑本段]量子力学的诞生从实验中普郎克推算到h 及 k的数值。因此他在1900年12月14日的德国物理学学会会议中第一次发表能量量子化数值、 Avogadro-Loschmidt数的数值、一个份子模(mole)的数值及电荷单位。这数值比以前更准确。这代表量子力学的诞生。 [编辑本段]量子力学诠释：霍金膜上的四维量子论类似10维或11维的“弦论”＝振动的弦、震荡中的象弦一样的微小物体。
霍金膜上四维世界的量子理论的近代诠释（邓宇等，80年代）：
振动的量子（波动的量子＝量子鬼波）＝平动微粒子的振动；振动的微粒子；震荡中的象量子（粒子）一样的微小物体。
波动量子＝量子的波动＝微粒子的平动+振动
＝平动+振动
＝矢量和
　量子鬼波的DENG'S诠释：微粒子（量子）平动与振动的矢量和
　粒子波、量子波＝粒子的震荡（平动粒子的震动） [编辑本段]“波”和“粒子”统一的数学关系振动粒子的量子论诠释
物质的粒子性由能量 E 和动量 p 刻划，波的特征则由电磁波频率 ν 和其波长 λ 表达，这两组物理量的比例因子由普朗克常数 h（h=6.626*10^-34J·s） 所联系。
E=hv , E=mc^2 联立两式，得：m=hv/c^2(这是光子的相对论质量，由于光子无法静止，因此光子无静质量）而p=mc
则p=hv/c（p 为动量）
粒子波的一维平面波的偏微分波动方程,其一般形式为
�6�8ξ/�6�8x=(1/u)(�6�8ξ/�6�8t) 5
三维空间中传播的平面粒子波的经典波动方程为
�6�8ξ/�6�8x+�6�8ξ/�6�8y+�6�8ξ/�6�8z=(1/u)(�6�8ξ/�6�8t) 6
波动方程实际是经典粒子物理和波动物理的统一体,是运动学与波动学的统一.波动学是运动学的一部分,是运动学的延伸,即平动与振动的矢量和.对象不同,一个是连续介质,一个是定域的粒子,都可以具有波动性.（邓宇等，80年代）
经典波动方程1,1'式或4--6式中的u,隐含着不连续的量子关系E=hυ和德布罗意关系λ=h/p,由于u=υλ，故可在u=υλ的右边乘以含普朗克常数h的因子(h/h),就得到
u＝(υh)(λ/h)
=E/p
邓关系u＝E/p，使经典物理与量子物理,连续与不连续(定域)之间产生了联系,得到统一.
2.粒子的波动与德布罗意物质波的统一
德布罗意关系λ=h/p,和量子关系E=hυ(及薛定谔方程)这两个关系式实际表示的是波性与粒子性的统一关系, 而不是粒性与波性的两分.德布罗意物质波是粒波一体的真物质粒子,光子,电子等的波动.

创建于20 世纪的主要数学分支有哪些？请阐述它们各自的主要思想方法！

基础数学：
数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论
代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数
几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何
拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论复流形
函数论： 函数逼近论.
泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 差分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程
微分方程：泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统.
在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换
的C*-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其
他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地
成为了这些问题的温床．
因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单
的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分
的非常困难的，技巧性很强的问题．K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框
架，在不同部分之间具有类比和相似．
这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”．
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想
）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒
量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是
现在看起来K一理论能提供更好的答案．
李群
另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群．现在说起李群，我们基
本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重
要的作用．它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家．正如很
多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对
Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何
的方法．虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多
不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪．
我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性．对于Klein而言，几何就是齐性空间，
在那里，物体可以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的
．Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不
同的李群．但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些
不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而，
李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现
在一种无穷小的层面上．于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过
由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体．这
个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Ei
nstein的相对论也起着基本的作用．当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发
展．
进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何．一
个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzeb
ruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然
也包含与群本身有关的代数．
在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论．这是Fouri
er理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交
换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧
并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作．
在数论方面，整个“Lang1ands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Haris
h-Chandra理论，产生于李群理论之中．对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和
在某种程度实施Langlands纲领．在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响．
模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工
作．
也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要
．然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都
是通过这种方式产生的．因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域
等一些离散情形中．这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起
的工作．在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这
里也可以找到它们的用武之地．
有限群
上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认
的一项工作．许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时,我接受了一次采访，并
且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我
的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关
若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域．而并没有开创什么新东
西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋．但是我的许多在这一领域工作的朋友
听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得不穿起“防弹衣”
了．
在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点．我在这里实际上指的是在所有的所谓“
散在群”(sporadic groups)中，最大的被赋予了“魔群”名字的那一个．我认为魔群的
发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了．可以看出魔群是一个极其有意
思的动物而且现在还处于被了解之中．它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的
联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系．这是分类工作的一
个有趣的副产品．正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇
大门．
物理的影响
现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响．在整个历史中，物理与数
学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题
而发展起来的．在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发
展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪最后四分之一的时间里，事情发生
了戏剧性的变化,让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响．
在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化．经典
力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是
实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分
．几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛
几何，并且分别对应三个不同类型的李群．辛几何是它们之中最新发展起来的，并且在某
种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史
起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作
为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力．这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础．
我已经提到过广义相对论和Einstein的工作．量子力学当然更是提供了一个重要的实
例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上
．
以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的．第一
个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用．在本世
纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被假设用来构成物质的基本粒子看起来
在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见
，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了．所以我们假定了一个
模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都
有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起
来象是建设物质大厦的砖石．
并不是只有紧李群才出现在物理中,一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群．
正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的．它们是那些能够发生在Hilbert
空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的
是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的．
在二十世纪的最后25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想
到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一，就这个问题本身，也许就需要
一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数
学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通
过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了．当然，这不是一个精确的
证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持．数学家们经常来检验这些由
物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们
中的许多还没有被完全证明．
所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的．
这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”．他们说：“这里有明确的公式，
还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”．他们会给出关于复杂问题的准确答案，这些
决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的
工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报．这是最
近25年中真正令人兴奋的事件． 在这里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jon es在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群” 这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间，它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有巨大的成功．
让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的
，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的
典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李
群的微分映射构成的群．它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维
李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间．
在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多
新的结果．例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪
的古典课题．而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果．另一个非
常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间．这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果．特别地，可以得到一些关于体积的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值．
另一个应用与计数曲线(counting curve)有关．如果我们来看给定次数和类型的平面
代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临
代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的．而且也是非常困难的．现在
它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的．
或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我
们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量
子场论．
如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的
扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析．
量子场论另一个结果是所谓的“量子群”．现在关于量子群的最好的东西是它们的名
字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来
解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而
且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算．
如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson
的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten
建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果
．所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子．
接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内
容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消
化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间．
历史的总结
我现在作一个简短的总结．让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意
地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是
与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发
现和发展的．有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常
富有成果，这也是我一直在谈论的．
二十世纪大致可以一分为二地分成两部分．我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门
化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地
定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终．正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种
趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系
统或者其它系统能获得什么．二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时
代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物
在很大程度上变得越来越有交叉性．我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总
结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面．
二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大
家喜欢，可称为是无穷维数学的时代．这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰
当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解
”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明
． 有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问
题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使
得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些
非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情．我们必须沿着
这条正确的道路走下去．我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有
了，只不过还有很长的路要走．
还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Con
nes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、
拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分．这是一个框架性理论，它能够让我们在
非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系．要求
这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨
大的或者特别的）应用．一个与物理有趣的联系也刚刚被发现．这个理论能够走多远，能
够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年
能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全
有可能的．
我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可
能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来．这是一个非常成功的理论．它已经有了一
个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？当然，所有这些都有一些共同点．我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切．
这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返
回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬．从很
多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜．
维数为2，3和4的对象被我们称为“低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就
是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远
没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战． 在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作．这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内．如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨 不透的东西．
最后，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”．这些对偶，泛泛地来
讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现．一个简单的例子是经
典力学中的位置和动量的对偶．这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶
就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一．数
学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论
和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点．他们构造了一个又一个令人叹为观止
的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起
来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一．
我想我就谈到这里．这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人可以和你
们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大
量的工作在等着你们去完成．
数学物理：规范场论, 引力场论的经典理论与量子理论, 孤立子理论.
概率论：马氏过程, 随机过程, 随机分析, 随机场, 鞅论, 极限理论, 平稳过程, 概率论 统计学;
数理逻辑与数学基础：递归论, 模型论, 证明论, 公理集合证, 数理逻辑 范畴论
组合数学：组合计数, 图论.
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