余数的严格精确的数学定义

余数的严格精确的数学定义

余数是数学用语。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。

余数有以下一些重要的性质：

余数和除数的差的绝对值要小于除数的绝对值。余数等于被除数减去除数和商的积。如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和。a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积。

怎样理解余数定理

中国余数定理
中国余数定理,也称中国剩余定理，孙子剩余定理。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了 《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式 组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。
在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：
韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让 敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7 报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。
最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：
“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”
用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：
用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道： 《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组 的一般解：
其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：
“三人同行七十（70）稀，
五树梅花二一（21）枝。
七子团圆正半月（15），
除百零五（105）便得知。”
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦
九韶在他的《数书九章》（见图1一7一1）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个 数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字70、21、15中找到如下的规律：
图1-7-1 文澜阁四库全书本《数书九章》书影
其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律 求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整 过程。（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问 题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。

余数的三大性质

余数，数学用语。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，取余数运算 a mod b = c（b不为0）表示整数a除以整数b所得余数为c。例如：7÷3 = 2…1，更专业的符号也可以写作 7÷3=2 又 1/3，或者 7 mod 3=1。
一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。 例如：1除以2，商数为0，余数为1；2除以3，商数为0，余数为2

数学中的底数,指数,余数

乘方a^n中,
n叫次数
其中的a叫做底数,n叫做指数,结果叫幂
在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数 ,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况.当不能整除时,就产生余数,如19÷8＝2余3 3为余数

二年级下册数学余数怎么讲

二年级下册数学余数怎么讲如下：

当平均分一些物品有剩余且不够再分的时候，剩余的数叫余数，带有余数的除法就是有余数的除法。

有余数除法的含义，当平均分一些物品有剩余且不够再分的时候，剩余的数叫余数，带有余数的除法就是有余数的除法，余数是被除数平均分后剩下的数量，余数的单位名称应和被除数的单位名称相同，有余数的除法在读法上，只比没有余数的除法多了余几。

我们都知道除法的性质就是平均分，保证所分得的每一份其个数都相等，那么有余数的除法就是在可以平均分的情况下，还有剩余剩余的部分不能进行再次分配时所留下的个数就叫余数。

余数，数学用语，余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间不包括除数的整数。例如27除以6，商数为4，余数为3，一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己，1除以2，商数为0，余数为1，2除以3，商数为0，余数为2。

有余数的除法的理解还是在原来表内除法的基础之上增加了余数的部分，其表示把一个数平均分成多少份，余数则表示平均分后剩下的不能再分的部分。其中在实际的应用当中要注意商的单位和余数的单位不能漏。

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