在数学中,群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构,包括阿贝尔群、同态和共轭类。
群词语解释:
群,上君下羊,君声。君,取治理意;羊,取人人意。本义是指羊群、兽群,引申为人群、物群。
1、形声。从羊,君声。本义:兽,三成羣;人,君领人人成羣。
2、三个以上的禽兽相聚而成的集体。
“君”本义为“管事人”、“干事”,引申义为“地方主事人”;“羊”指某一地方的居民。“君”与“羊”联合起来表示“有君长的地方”、“有君长
有可逆运算的元素集合,集合与运算一起称为群。群论是数论的一种,衍生学科有拓扑学,可以用于分析抽象的图形,数形结合,多维矩阵等问题。经典的案例就是伽罗瓦分析出五次及以上代数方程没有公式解的故事。
1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素,需要满足群公理(group axioms),即:
①封闭性:a ∗ b is another element in the set
②结合律:(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
③单位元:a ∗ e = a and e ∗ a = a
④逆 元:加法的逆元为-a,乘法的逆元为倒数1/a,… (对于所有元素)
⑤如整数集合,二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的,加法满足结合律,单位元为0,逆元取相反数-a)。
2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上,添加一种二元运算·(虽叫乘法,但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·),需要满足环公理(ring axioms),如(Z,+, ⋅)。环公理如下:
①(R, +)是交换群
封闭性:a + b is another element in the set
结合律:(a + b) + c = a + (b + c)
单位元:加法的单位元为0,a + 0 = a and 0 + a = a
逆 元:加法的逆元为-a,a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)
交换律:a + b = b + a
②(R, ·)是幺半群
结合律:(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
单位元:乘法的单位元为1,a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition
3、域(Field)在交换环的基础上,还增加了二元运算除法,要求元素(除零以外)可以作除法运算,即每个非零的元素都要有乘法逆元。
由此可见,域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构,是数域与四则运算的推广。整数集合,不存在乘法逆元(1/3不是整数),所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域,分别叫有理数域、实数域、复数域。
设G是一个非空集合,*是它的一个代数运算,如果满足以下条件:Ⅰ.结合律成立,即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c); Ⅱ.G中有元素e,叫做G的左单位元,它对G中每个元素a都有 e*a=a; Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1),叫做a的左逆元,使 a^(-1)*a=e; 则称G对代数运算*做成一个群.
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