定积分存在定理是什么(定积分存在和原函数存在的条件各式什么？)

定积分存在定理是什么

定积分定理：一个连续函数必定可积。

定积分是积分的一种，是函数在区间上的积分和的极限。

定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。

定积分存在和原函数存在的条件各式什么？

关于定积分存在条件高等数学中没有给出完全的充分必要条件，只给出了几个简单的容易判别的充分条件，如果要充分必要条件要在学了实变函数之后才能给出，用测度论解决的，所以各位考非数学专业的同学只需记住高等数学教材上给出的几个充分条件就够了。原函数的存在条件要对导函数的性态有深入了解，例如导函数在定义域上不存在第一类间断点等。你给出和两个题，第一道，A答案中的函数在x=0处是连续的，所以函数在整个给定闭区间都是连续的，所以存在定积分，C答案在整个闭区间上只有两个第一类间断点，因此也存在定积分。第二道题中，A答案，利用洛必达法则容易判定其在x=0处连续，所以在给定的整个闭区间内都连续，所以存在原函数，C答案中的函数在x=0处右极限为负二分之一，左极限为正二分之一，函数值为0，所以x=0是第一类间断点，因此在给定区间内不存在原函数（因为导函数在定义域上是不能有第一类间断点的）。

高等数学

一、考试方法和考试时间

1、考试方法：闭卷、笔试

2、记分方式：百分制，满分为100分

3、考试时间：120分钟

二、试卷内容比例

函数、极限和连续约20%

一元函数微分学约45%

一元函数积分学约35%
下面进入考试内容：

                                                                      【第一章20%】

        函数的概念与基本特性；数列、函数的极限；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小的概念与阶的比较；函数的连续性和间断点；闭区间上连续函数的性质。

（一）、函数的概念

1、判断函数是否相同时：值域、定义域是否相同。 <充分必要条件>

（二）、函数的性质

1、单调性

定义：在区间内任意两点x1<x2恒有f(x1)<f(x2)则称y=f(x)在该区间内单调增加。（反之减少）

通过导数符号判定递增或递减。

通过函数图像直观看出。

2、奇偶性

      奇函数：f(-x)=-f(x) 关于原点对称    如：sinx、tanx、cotx、arcsinx、arctanx、x^(2n-1)、

      偶函数：f(-x)=f(-x) 关于y轴对称      如：cosx、|x|、x^(2n)

      非奇非偶函数：arccotx、arccosx.

3、周期性

4、有界性 

        极限中x0时，无穷小*有界变量=0

（三）、反函数（将x、y互换位置）

（四）、函数的四则运算和复合运算

        在求函数的表达式时记得要把定义域附上。如f(x)=， x[-1,+]。

        三角函数图像：
反三角函数图像：

其中： 非奇非偶函数：arccotx、arccosx.

夹逼原理、极限是否存在的条件为左右极限是否相等

有界函数包括sinx、cosx以及所有反三角函数

无穷小的阶：

                      次幂相同：同阶无穷小：即两个函数相除等于 常数 （当相等时为等价无穷小，即两个函数相除等于 1 ）

                      次幂高：高阶无穷小

                      次幂低：低阶无穷小
等价无穷小：

两个重要极限：

证明函数连续：1、极限值=函数值

                         2、左连续且右连续

                         3、图像是一条 连续且不间断 的 曲线

函数的间断点：

（第一类间断点）

            可去间断点：极限存在但不等于函数值、极限存在但无定义

            跳跃间断点：左右极限存在但不相等

（第二类间断点）

            无穷间断点（极限等于无穷）、振荡间断点（函数图像振荡）

函数的间断点

         分段函数一般为横坐标等于分段点。

         让分子等于0或让分母无意义的点。

零点定理证明步骤：

        ①.写出原函数（移项：让函数一边等于0）

        ②.若为抽象函数则因为连续所以连续，

        若为已知函数则显然连续

        代入区间端点，令f(a)、f(b)异号

        ③.故由零点定理可知：

        （a，b）,使得f()=0，即原函数（将x替换为），即__________。

                                                                     【第二章45%】

（二）导数与微分                                               

        导数概念及求导法则；隐函数与参数方程所确定函数的导数；高阶导数；微分的概念与运算法则。

二者在数学上是等价的（ 注意，函数绝对值=0时不可导 ）

切线方程、法线方程。积=-1

1、可导的充分必要条件是 左右导数都存在且相等 。

2、 可导必连续

偶函数的导数为奇函数反之为偶函数
①隐函数的导数求导。

②幂指函数求导采用对数求导法。

（三）微分中值定理及导数的应用

        罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性与极值，曲线的凹凸性与拐点。

函数的单调性： 移项，求导判断单调性。

极值：

导数=0为驻点，可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定为极值点。

步骤：①求导得驻点：令f'(x)=0

          ②将驻点代入二阶导，若>0则极小点为x0反之则是极大值点

          ③将极值点代入原方程得出极值

        函数的二阶导>0:凹的

                              <0:凸的

        连续曲线凹与凸的分界点称为拐点

注意，拐点为坐标！

拐点两侧二阶导必然异号。

求拐点步骤：先求二阶导  令其=0，再判断x>0或<0时，y‘’是否异号。

曲线的渐近线：

1.水平渐近线：x趋近于时，极限值等于一个常数（包括0），则y=b为水平渐近线

2.垂直（铅直、铅垂）渐近线：x趋近于x0时，极限值等于，则x=x0为垂直渐近线<一般情况下让分母为0>

注意：方程中含时，应包含x+和x-两种情况

（四）不定积分                                                     【第三章35%】

        原函数与不定积分概念；不定积分换元法；不定积分分部积分法。

1、函数的定义

                        

< 其中为积分号，x为积分变量，f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式，C为积分常数 >

2.原函数

（不定积分）'=原函数；         （原函数）'=导数

同一函数的原函数之间相差一个常数。

判断函数是否为同一函数的原函数时：①各自求导，满足F'(x)=G'(x).②作差F(x)-G(x)，结果为一常数.

3、函数的存在定理

f(x)在某区间内连续，则该函数的原函数在该区间内必然存在。

1、第一类换元法（凑微分）

2、第二类换元法（去根号）

特别的：①令x=atant<>

              ②令x=asint<>

              ③令x=asect<>

            先移后凑积分，再算乘积差

特殊的：在求不定积分的时候遇到结果为sint等不好化时画之间三角形找出角边的关系求最终结果。

        定积分的概念和性质；积分变上限函数；牛顿－莱布尼兹公式；定积分的换元积分法和分部积分法；无穷区间上的广义积分；定积分的应用（求平面图形的面积）。

可导——>连续——>可积——>在区间[a,b]有界

        

<f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量，[a,b]为积分区间，a、b分别称为积分下限和积分上限>

2、定积分存在定理

①f(x)在[a,b]连续，则存在。

②f(x)在[a,b]有界，且只有有限个间断点，则存在。

3、几何意义

（1）当a=b时，积分为0；

（2）当ab时，上下限交换位置后等于原积分的相反数。

1、=b-a

2、（可加性）

3、        (a<b)

4、（估值定理）设M和m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则

        m(b-a)M(b-a)    (a<b)

5、（积分中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使

                (ab)

比较两个定积分的大小时(a、b相等)，①作差②分情况讨论，求导判断单调性③代入特殊值如0即可得函数间大小可推出积分间大小。

1、变上限函数的导数：

对函数中所有其他未知数换做上限，并乘以上限的导。

2、边下限函数的导数：

类似于求变上限函数的导数，但是要在前面加上一个负号。

牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式）

注意：要注意f(x)在[a,b]上是否有间断点，有无穷间断点时，要按广义积分计算（分段），不然会出错。

注意：在换元的同时上下限有变量也要换。

对称区间上定积分的性质：

设函数在[-a,a]上的连续函数，则

①当函数f(x)为奇函数时，;                                偶函数*奇函数=奇函数

②当函数f(x)为偶函数时，.    

遇到非奇非偶函数时就拆开计算。

4、定积分的分部积分法

无穷区间上的广义积分：

存在即收敛，不存在即发散。
判断收敛和发散的方法与无穷函数的广义积分方法相同，但标准相反：

在计算函数的敛散性时，要判断是否有间断点，如果有则需要分段计算，在分段计算某积分时，都收敛才算收敛。

1、计算函数包围的面积。（求积分）

2、计算函数绕某轴旋转围成的物体的体积。
3、计算平面曲线的弧长。

求二重定积分E^-(X+Y),以及对这个式子求定积分（分别对X,Y积分），（限制条件：X>=0,Y>=0。请看图。

解题过程如下图：

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

定积分中值定理是什么

是反映函数与导数之间联系的重要定理。
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用，中值定理是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。
函数与其导数是两个不同的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用，微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

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