定积分的应用有哪些

定积分的应用有哪些

1、通过求定积分来求积分函数原函数与坐标轴围成图形的面积；

2、通过求定积分来求积分函数通过旋转得到的旋转体的体积，侧面积；

3、计算定积分；

4、求做功，求力，最大最小体积或面积。

曲线y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb（b>a>0)所围图形面积为多少？ 要用到高等数学积分，求详解。

所围图形面积为(b-a)。

解：根据题意可得所围图形面积可用定积分表示，

即面积=∫(lna,lnb)xdy，

又y=lnx，那么x=e^y。

因此∫(lna,lnb)xdy=∫(lna,lnb)e^ydy

=e^y(lna,lnb)=e^lnb-e^lna=b-a。

即面积为b-a。

扩展资料：

1、定积分的性质

若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)

（1）a=b时，则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0

（2）a≠b时，则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)

（3）∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*（F(b)-F(a)），（其中k为不为零的常数）

2、定积分的应用

（1）解决求曲边图形的面积问题。

（2）求变速直线运动的路程。

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

（3）变力做功。

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

3、不定积分公式

∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫e^xdx=e^x+C

-定积分

定积分在物理中的应用

1、这个问题不太严谨，如果用虹吸原理来把水全部吸出，是可以不做功甚至水对外做功的。
如果不考虑虹吸原理，把所有水提升到桶上沿高度，则根据重心由距离桶底0.5m，提升到2m，则需要做功mgΔH=ρπr²hgΔH=1000π*0.8²*1*9.8*1.5=3.0*10^4焦耳
用积分形式则为：W=∫(1,2)ρπr²HgdH结果是一样的。
2、以液面处，即圆心所在平面为参考面，深度为h处的液体压强为p=ρgh，在h深度处，油液水面截面的宽度为√(R²-h²)，则端面上的压力为：
F=∫pds=∫(0,R)ρgh√(R²-h²)dh=ρgR³/3
3、平均速度V=Δs/Δt
Δs=∫(0,3)vdt=∫(0,3)(3t²+2t)dt=t³+t² |(0,3)=36
V=Δs/Δt=36/3=12m/s

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