1、通过求定积分来求积分函数原函数与坐标轴围成图形的面积;
2、通过求定积分来求积分函数通过旋转得到的旋转体的体积,侧面积;
3、计算定积分;
4、求做功,求力,最大最小体积或面积。
所围图形面积为(b-a)。
解:根据题意可得所围图形面积可用定积分表示,
即面积=∫(lna,lnb)xdy,
又y=lnx,那么x=e^y。
因此∫(lna,lnb)xdy=∫(lna,lnb)e^ydy
=e^y(lna,lnb)=e^lnb-e^lna=b-a。
即面积为b-a。
扩展资料:
1、定积分的性质
若F(x)为f(x)的原函数,则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)
(1)a=b时,则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0
(2)a≠b时,则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)
(3)∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*(F(b)-F(a)),(其中k为不为零的常数)
2、定积分的应用
(1)解决求曲边图形的面积问题。
(2)求变速直线运动的路程。
做变速直线运动的物体经过的路程s,等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
(3)变力做功。
某物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。
3、不定积分公式
∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫e^xdx=e^x+C
-定积分
1、这个问题不太严谨,如果用虹吸原理来把水全部吸出,是可以不做功甚至水对外做功的。
如果不考虑虹吸原理,把所有水提升到桶上沿高度,则根据重心由距离桶底0.5m,提升到2m,则需要做功mgΔH=ρπr²hgΔH=1000π*0.8²*1*9.8*1.5=3.0*10^4焦耳
用积分形式则为:W=∫(1,2)ρπr²HgdH结果是一样的。
2、以液面处,即圆心所在平面为参考面,深度为h处的液体压强为p=ρgh,在h深度处,油液水面截面的宽度为√(R²-h²),则端面上的压力为:
F=∫pds=∫(0,R)ρgh√(R²-h²)dh=ρgR³/3
3、平均速度V=Δs/Δt
Δs=∫(0,3)vdt=∫(0,3)(3t²+2t)dt=t³+t² |(0,3)=36
V=Δs/Δt=36/3=12m/s
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