长方形的面积为什么等于长乘宽(求证矩形的面积等于长乘宽)

长方形的面积为什么等于长乘宽

方法一：这是欧式空间平移不变性的必然结果。首先，面积的平移不变性，这是出发点。平移一个矩形，使其下宽与原来的上宽重合，其面积不变。平移前后两个矩形组成一个大矩形，其面积是原矩形的 2 倍，由前面的平移不变性得到，其长也是后者的 2 倍，由线段的平移不变性得到，这暗示面积与长成正比。同理面积与宽成正比。所以面积的最简表示为长乘宽；方法二：用1平方厘米的小正方形摆长方形，长方形的面积就是所有小正方形的面积和，所有小正方形的面积就是所有小正方形的面积和是：每排小正方形的个数乘以排队数，而每排小正方形的个数又正好

求证矩形的面积等于长乘宽

面积的计算
本节内容主要是简述图形面积的度量的概念和证明长方形的面积公式．
我们在§1中已经谈到长度和角度的概念，现在来分析一下“面积”这个基本几何量．度量一个图形的面积通常取边长为一个长度单位的正方形做面积单位．例如，我们把每边长为1厘米的正方形的面积叫做一平方厘米．
度量一个图形的面积的大小，实际上求出这个图形所含有的面积单位的量数．也可以说是求这个图形的面积和面积单位的比值，这个量数(或比值)是一个正实数．
由面积的直观含义，我们看到面积这个几何量具有以下基本性质：
(1)设r和r′是两个可以完全重合的“平面区域”(图2－10)，即r和r′的形状、大小完全一致，则r和r′的面积完全相等。两个平面图形如果面积相等，则称它们是等积．
(2)设平面区域r1、r2是由平面区域r分割而成，则r的面积等于r1和r2面积的和(图2－11)．
(3)设平面区域t是平面区域r的一部分，则t的面积小于r的面积(图2－12)．
为了叙述方便，我们采用符号：s(a，b)表示两条邻边长分别67是a、b的长方形面积．
定理
长方形的面积等于长乘宽，即
s(a，b)＝a·b．
我们分以下几种情况来证明本定理(①定理证明为选学内容．)．
(1)设u是长度单位，a＝lu，b=mu，l、m都是整数(在图2－13中，l＝4，m＝3)．我们把a、b分别等分为l、m等份，然后过各分点，分别引a、b的平行线，把长方形abcd分割成l·m个边长为u的单位正方形．所以
s(a，b)=
l·m·s(u，u)=l·m(u2)
＝lu·mu＝a·b．
(2)当u是长度单位，a＝l·u，b=m·u，但l、m不是整数的小正方形．所以
即s(a，b)=a·b．
(3)当l、m不一定是有理数(分数)时，我们应用以下夹逼原理来加以证明．
夹逼原理
设a、a′是两个实数，假如它们同时被一个递增数列｛an｝和一个递减数列｛bn｝所左右夹逼，而且(bn-an)在n增大时可以小到任意小，即
a1≤…≤an－1≤an≤…＜a，
a′＜…≤bn≤bn-1≤…≤b1，
(bn-an)→0，
则
a=a′
由于无理数可以用有理数来逼近，并可精确到任意程度．所以，我们可以取｛ln｝、｛l′n｝为左右夹逼l的分数数列，即ln、l′n为分数且ln→l←l′n；又取｛wn｝，｛w′n｝为左右夹逼m的分数数列．如图2－15所示，
长方形abncnd2n的面积=s(lnu，wnu)=lnwn(u2)，
长方形ab′nc′nd′n的面积=s(l′nu，w′nu)＝l′n·w′n(u2)．
设长方形abcd的面积=s(a，b)．
显然有
ln·wn(u2)≤s(a，b)≤l′n·w′n(u2)．
因为
ln≤l≤l′n，wn≤m≤w′n，
所以
ln·wn≤l·m≤l′n·w′n．
(1)
因为
(l′n-ln)→0，(w′n-wn)→0，
所以
(l′n·w′n-ln·wn)
＝(l′n·w′n-l′n·wn+l′nw-ln·wn)
=［l′n(w′n-wn)+wn(l′n-ln)］→0．(2)
由(1)、(2)并根据夹逼原理，就有
s(a，b)＝l·m(u2)，
即
s(a，b)=lu·mu=a·b．

长方形的面积为什么是长乘宽？

用1平方厘米的小正方形摆长方形.长方形的面积就是所有小正方形的面积和.所有小正方形的面积就是所有小正方形的面积和是:每排小正方形的个数乘以排队数,而每排小正方形的个数又正好是长边所含厘米数,(因为每个小正方形的边长是1厘米,所以长边摆了几个小正方形就是几厘米）,排数又正好是宽边所含厘米数.所以长方形的面积等于长乘以宽.

声明： 我们致力于保护作者版权，注重分享，被刊用文章因无法核实真实出处，未能及时与作者取得联系，或有版权异议的，请联系管理员，我们会立即处理，本站部分文字与图片资源来自于网络，转载是出于传递更多信息之目的,若有来源标注错误或侵犯了您的合法权益，请立即通知我们(管理员邮箱：daokedao3713@qq.com)，情况属实，我们会第一时间予以删除，并同时向您表示歉意,谢谢!