巴拿赫塔斯基悖论

巴拿赫塔斯基悖论

是一道经典的哥德尔不完备定理，也是数理逻辑中的一个重要问题。 它源于哥德尔在证明一个无法自证的命题时，引用了巴纳赫塔斯基悖论。这一悖论在哲学、逻辑学、语言学、计算机科学等多个领域都有重要的应用和影响。本文将从多个角度探究这一悖论带来的意义和思考。

巴拿赫塔斯基悖论

一、悖论的出现

巴拿赫塔斯基悖论是由波兰逻辑学家阿尔弗雷德·塔思基耶维奇·巴拿赫提出的。在他的著名论文《数学论理学基础论》中，他提出了一个形式化系统的数学基础。但是，在这个系统中，存在一条悖论：如果一个集合既不包含自身，又包含自身，这个集合是不是合法的？这似乎陷入了无限递归的情况。

二、悖论的影响

巴拿赫塔斯基悖论不仅在数理逻辑中有着重要的应用，也在其他领域产生了影响。首先，它挑战了正统数学的基础，引发了对于同一性原则、对于集合、命题等基本概念的重新思考，从而推进了现代基础数学的发展。其次，巴拿赫塔斯基悖论成为了哥德尔不完备理论的一个重要组成部分，证明了哥德尔不完备定理与集合论之间的联系。此外， 这一悖论对哲学、语言学和计算机科学的研究也有着重要意义。在哲学领域中，它涉及到存在论、真理、意义等问题。在语言学领域中，它揭示了语言和逻辑的关系。在计算机科学领域中，它为自指的研究提供了重要的基础和启示。

三、悖论的展望

巴拿赫塔斯基悖论的提出，不仅在当时引起了数学领域的轰动，也对于人类的思维能力进行了一次深入的考量。人们怀疑自己的思维是否出现了问题，反思数学等纯理性学科的概念是否具有实际的意义。随着人工智能技术和量子计算的不断发展，这一悖论对于人工智能和量子计算的研究也将产生深远的影响，挑战人类的智慧和智力极限。

总之，巴拿赫塔斯基悖论的出现和影响是广泛而重要的。这一悖论不仅对数理逻辑产生了影响，也对哲学、语言学和计算机科学等领域产生了深远的影响。在未来的研究中，巴拿赫塔斯基悖论将继续挑战人类的智慧和想象力，推进人工智能和量子计算的发展。

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阿尔弗雷德·塔斯基的历史评价

阿尔弗雷德·塔斯基是二十世纪最伟大的逻辑学家之一 。在到美国之前就取得了重要成就。最著名的是巴拿赫塔斯基难题。塔斯基早期另一成就是用实数算术语言写下句子的决定程序。这些句子可用整数范围的变量、运算符号加和乘、等于和序号及非、和、或、蕴含和存在符号写出。塔斯基生成了一种能决定这种句子是否为真的算法。
对于哲学家来说，塔斯基最大的成就是他对真理概念的猛烈抨击。他能在适合条件下精确定义某种语言句子为真。条件是该语言完全是形式化的并且具有明确的语法。其中生成真理定义的语言一般要与那种句子的真值要经证明的语言分开。哥德尔提出一种语言可做为它自己的元语言。但在这种情况下，塔斯基能证明他关于真理不可定义性的著名定理：在一般情况下，一种语言的句子的“真值”的概念无法在同一语言中进行定义。
塔斯基生活不羁。做为教师对学生严格，他的24名学生成就卓著。他使加州大学贝克莱分校校方相信逻辑的重要性从而得到足够的资源使贝克莱数学系成为了世界逻辑中心。

选择公理的争议

但“选择公理”当然不是这般简单，它的不可思议，它的奇妙用法，以及它所导致的结果，到现在才是开始。
要证明选择公理，并非一件容易的事，其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题，而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论，所以在证明时，工具也会较少。
不少的数学家也曾尝试证明选择公理，他们希望用最基本的工具来作证明，但往往在这些证明中，都用了一些并不基本的理论，例如：“良序定理”（Well-ordering Theorem）及“佐恩引理”（Zorn's Lemma），
良序定理
所有集合能被良序化。换句话说，对每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它的所有子集都有极小元素。
佐恩引理　
若一偏序集是归纳序集，那么，它必然存在最大元素。换句话说，如果在一个偏序集的每一条链在原来的偏序集中都存在着上界，这偏序集必存在最大元素。 这些理论，即使只是从字面的解释，也不容易判断它的真确性，而事实上，“良序原理”及“佐恩引理”是不能用基本工具证明的。直至现时为此，也没有人能用基本工具来证明“选择公理”。
更有趣的结果是原来“选择公理”、“良序原理”及“佐恩引理”都是等价的命题，也就是说它们是在描述同一样的事件。多年以来，所发现的“选择公理”的等价命题实在不少，网主并没有统计过，某些的书籍可写出约30个等价命题，网主亦搜集了部分等价命题（英文版）可供网友参考，而人类只是在这些命题与命题间兜兜转转。 由此可知，要在数学上证明或否证“选择公理”并非易事，所以数学家便转移目标，从逻辑系统中看看它的相容性。而事实上，经证明所得，现在我们常用的ZF公理系统与“选择公理”是相容的，也就是说用ZF公理系统不能得出“选择公理”的逻辑矛盾。如果我们选择接纳“选择公理”，则便有一套包含“选择公理”的公理系统，一般称“ZFC公理系统”；否则，便不接纳它在公理系统之内，在能把它证明之前，也不能接受它是一“定理”。
不过，这个争论依然未完，因为对于这条公理不只是接纳和不接纳的问题，如果放弃这条公理，有很多美好且乎合“常理”的结果会同时被放弃；但它实际上又与很多“常理”大不协调。
其中一个为人熟识的不合乎常理的结果是“巴拿赫─塔斯基悖论”（Banach-Tarski Paradox），或称“分球问题”。这个悖论可以说是违反了物理学定律，因为这个悖论说可以把一个单位球体（半径为1）分成有限个点集（最少可分成五份），然后通过一些刚体运动，即旋转和平移，再重新组合，不过在组合后，竟然成为两个单位球体，也即是体积增加了一倍，而这个悖论的证明是必须利用到“选择公理”的。也就是说，如果我们选择接纳“选择公理”，则“巴拿赫─塔斯基悖论”便是一条定理，但现实中有这个可能吗？
这其实也是牵涉另一个数学概念──可测集合（Measurable Set）。“巴拿赫─塔斯基悖论”便是存在不可测集合的结果。如果我们接纳“选择公理”，则我们必须接纳不可测集合。若我们不接纳“选择公理”，则可设所有集合皆是“勒贝格可测的”（Lebesgue Measurable），而这个假设也可能是较合乎常理。
但是，如果放弃选择公理，也会有一些很不合常理的情况出现。这些情况取决于选定的不符合选择公理的模型。如在Cohen模型中，存在一个函数，它在一点x0处是不连续的，但对于任何极限为x0的数列{an}，{bn=f(an)}的极限都是f(x0)。换句话说，用任何逼近x0的数列时，函数值都能逼近f(x0)，而这恰恰是“连续性”的体现。有些模型更是否定“二元可数选择公理”（可数个二元集合上选择公理成立），而这条公理等价于“可数个不交二元集的并集可数”！ 总而言之，“选择公理”是一条十分争议性的命题，一般的数学家都接受这条公理，因为可以从而得出很多有用的结果，反正使用这公理是没有逻辑矛盾的。但对于逻辑家或集合论家来说，这是一个必须解决的问题，有些人会建议用较弱的“可数选择公理”（Countable Choice）来代替，而确实有很多结果是可以利用可数选择公理来证明的，不过这样只是暂时回避问题，而且依然有些结果是必须用到“选择公理”的。
著名哲学家兼数学家罗素（Bertrand Russell）曾说过：“由无限双袜子中，每双选择一只出来的话，我们需要‘选择公理’，但如果换成是鞋的话，那便不必了。”因为鞋是可以分左右的，袜子则两只没什么分别，不知如何选择。另外，如果只有有限双袜子，在逻辑上是可以不用“选择公理”的。
邦拿（Jerry Bona）也曾说过：“‘选择公理’明显是正确的；‘良序原理’明显是不正确的；‘佐恩引理’又有谁可决定呢？”这虽然是一个笑话，但从此可知道人的直觉并不一定跟从数学的思维。在数学上，这三个命题是等价的，但对于“选择公理”，很多数学家都直觉它是正确的；对于“良序原理”，很多数学家都认为存在问题；“佐恩引理”则复杂得很多数学家也不能单凭直觉作判断。
“选择公理”确是一条谜样的公理，虽然看似十分浅显，但却有奇妙的功能，甚至有超乎常理的结果。有些人对它投以信任一票，有些人则抱怀疑态度。有关这条公理的讨论和研究，相信还会继续，那便看看数学家如何把它解决。最后，网主用罗素的一句话作结束，他在谈及“选择公理”时曾说：
“起先它似乎是明白的；但你愈多思考它，由这公理得出的推论就好像变得愈奇怪；最后你完全不明白它的意思到底是甚么了。”

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