布朗定律：从分子运动到扩散过程的数学模型

布朗运动，也称布朗运动或随机游走，是指微观粒子在溶液或气体中随机运动的现象。布朗运动是分子运动学的基础，也是扩散过程的基础。布朗定律是描述布朗运动和扩散过程的数学模型，被广泛应用于物理、化学、生物学等领域。

布朗定律：从分子运动到扩散过程的数学模型

布朗定律最初由英国物理学家罗伯特·布朗于1827年提出。他在研究花粉在水中的运动时发现，花粉不断地随机运动，这种运动是由水分子的热运动引起的。布朗定律的基本假设是：分子的热运动是随机的，没有方向性，也没有规律性。

布朗定律的数学模型可以用以下公式表示：

Δx = √2DΔt

其中，Δx是微粒在时间Δt内的位移，D是扩散系数，它是一个常数，与扩散分子的大小、形状、溶剂的粘度、温度等因素有关。

从物理学角度来看，布朗运动和扩散过程是由分子热运动引起的。分子的热运动是由温度引起的，温度越高，分子的热运动越剧烈，扩散速度越快。因此，在物理学中，布朗定律被广泛应用于描述扩散过程，例如在化学反应中，扩散是反应速率的关键因素之一。

从化学角度来看，布朗定律可以用于描述溶质在溶液中的扩散。溶液中的溶质分子会随机运动，与溶剂分子相互碰撞，从而扩散到溶液中。布朗定律可以用于计算溶质扩散的速率和距离，对于化学反应速率的预测和优化具有重要意义。

从生物学角度来看，布朗定律可以用于描述细胞内分子的扩散。细胞内分子的扩散受到细胞膜的影响，细胞膜的通透性和粘稠度对细胞内分子的扩散速度有很大影响。布朗定律可以用于计算细胞内分子的扩散速率和距离，对于研究细胞代谢和信号传递具有重要意义。

总之，布朗定律是描述布朗运动和扩散过程的数学模型，被广泛应用于物理、化学、生物学等领域。从多个角度来看，布朗定律对于描述分子运动和扩散过程具有重要意义，对于研究物理、化学和生物学问题都有很大的帮助。

不懂自己或他人的心？想要进一步探索自我，建立更加成熟的关系，不妨做下文末的心理测试。平台现有近400个心理测试，定期上新，等你来测。如果内心苦闷，想要找人倾诉，可以选择平台的【心事倾诉】产品，通过写信自由表达心中的情绪，会有专业心理咨询师给予你支持和陪伴。

地下水中元素的迁移类型

地下水中元素的迁移与富集是指元素在岩石圈和水圈之间发生的位移，即化学元素在地壳中的转移和再分配，它是整个元素迁移的一部分。与地下水活动有关的元素迁移，首先是岩石圈中含的各种组分向天然水中转移，使水中相对富集了某些元素，从而引起元素从高浓度处向低浓度处扩散迁移，或随着地下水对流迁移。元素在地下水中的位移，是水文地球化学研究中，寻找油气藏的理论基础的一部分。

地下水中元素迁移和富集，除了元素本身原子结构的固有性质所决定的内在因素外，还取决于外界的天然环境。

水圈和岩石圈中各种元素在地质历史的长河中，处于平衡和破坏平衡的交替运动中，从而引起元素的迁移和富集作用。地下水中元素迁移的方式和类型，按水流特征可分为扩散迁移和对流迁移两种基本类型。

1.扩散迁移

扩散迁移是分子布朗运动的一种现象，是均一体系中元素迁移的基本方式。元素通过扩散迁移产生微观的位移。扩散作用的动力是温度差、压力差和浓度差。在一个体系内，某元素或某种组分的浓度不均匀时，在浓度梯度作用下元素发生定向扩散，即地下水中的元素自动地从高浓度处通过含水岩系的孔隙或裂隙向低浓度处迁移，使体系内任一点的每种元素或组分浓度均一化，达到热动力平衡状态。所以扩散是一种体系内各部分浓度均一化的过程。它具有下列特点：

1)扩散是一个连续的物质迁移过程，在此过程中体系内元素的浓度发生连续的变化。

2)扩散时，介质不一定发生移动，体系内浓度梯度的存在是扩散的基本动力。

3)扩散的速度与浓度梯度成正比，因而随着距离增大而减小，即扩散服从菲克定律，即

Im=-Dm·Cg

式中：Im为扩散量(物质通过单位面积的数量)；Cg为物质的浓度梯度；Dm为分子扩散系数，cm2/s。

式中右边的负号，说明物质向浓度减小的方向扩散。

4)扩散作用受浓度、介质的黏滞性和孔隙度以及岩性等因素影响。

分子的扩散作用，不仅在液体静止时发生，而且在运动状态下同样也会发生，不但有沿运动方向上的横向扩散，还有垂直于运动方向的纵向扩散。

含油气盆地中地下水的化学成分同油气的生、运、聚、散一样，经历了复杂而漫长的水文地球化学演化过程。它在含油气盆地的发育过程中伴随着石油的生成而形成，经历了沉积、浅埋、深埋、变质及淋滤等水文地质历史发育阶段。由于它埋藏在封闭的还原环境里，与油气长期共存，元素之间的相互交换作用使其不断地改变着自己的原始成分和类型。我国陆相含油气盆地原始水化学成分，大部分属于含盐量较低的淡水或微咸水，只有个别为含盐量很高的咸水(表4-1)。

随着地质历史的发展，盆地水逐渐演化成有较高浓度和不同离子组成的油田水。应用现代淡水湖泊的水进行模拟试验，在常温、常压、室内自然蒸发条件下，各离子随含盐量的增加而增高。当含盐量达到现今油田水的浓度时，以Na+，Cl-和

的增加速率最大，其次是Mg2+和

，而Ca2+增加最慢。如果再考虑脱硫等作用，那么在原始淡水的含油气盆地中，必然形成以Cl-，

和Na+为主的离子组合。在一个小的凹陷中，同样有使原始淡水高度浓缩的现象。水与围岩发生活跃的盐分交换，使沉积水化学成分重新分配和组合，发生正向变质，朝着含盐量增高的方向发展。这样，导致油田水化学成分与油田上方地下水化学成分之间，形成较大的浓度差，使油田水中的某些元素缓慢地向上移动，富集于浅层地下水中，形成水文地球化学异常区(带)。

表4-1 我国主要含油气盆地生油岩中Cl-含量

(据范璞等，1982)

2.对流迁移

对流迁移是物质在孔隙或裂隙岩石中，随着运动介质(地下水)一起迁移，由于渗流速度的影响，迁移较远。它是自然界引起物质运移的主要方式之一。

物质对流迁移的量与物质浓度和介质的运动速度有关，可用下式表示：

Ik=C·V

式中：Ik为物质对流迁移量；C为物质在地下水中的浓度或活度；V为运动介质(地下水)的渗流速度。

物质的对流迁移是很复杂的，因为地下水在多孔介质渗流时，实际流速的分布是很不均匀的，特别是在纵向上运动介质通过不同时代的含水层或非均质岩层时，更是如此。

物质的对流迁移在断陷式或断裂比较发育的含油气盆地中具有重要意义，是形成强度较大的浅层水文地球化学异常的主要迁移方式。如次生油气藏的形成和地表油气苗的出现等，多数是油气以断裂或不整合面为通道发生再运移的结果，或是由地下水携带直接排泄出地表而形成。而这些次生油气藏，一般埋藏较浅，对上部浅层含水岩系的水化学成分产生深远的影响，使地下水化学成分在纵向上呈现有规律的分布，或形成连续的水化学分散晕(见表3-7)。

准噶尔盆地的克拉玛依油田，发育一系列的高角度断层，深部的油田水化学成分沿着断裂带迁移，在断层附近的浅层地下水中形成较强的水文地球化学异常(图4-2)。

图4-2 水化学异常形成的地质构造背景

综上所述，地下水中同时存在着两种基本类型的物质重新分配机理，即扩散迁移和对流迁移，前者是由物质的浓度梯度引起的，后者是因水力梯度等因素的存在而发生，但两种迁移方式不是孤立进行的，而是有一定的内在联系。如地下水中元素向上迁移时，在压力梯度的作用下，物质(元素)沿着一定通道(构造面)发生整体黏滞性流动，并相继向围岩孔隙和微裂隙均匀渗透。此时，对流作用是主导的，扩散作用虽然已经发生，但是处于次要地位。随着时间的推移，压力梯度逐渐变小，趋于动平衡状态，而开放性裂隙、孔洞逐渐充满了溶液，含水岩系中较大规模的物质流动相对停止，此时，从裂隙到围岩因物质浓度梯度不同，而发生扩散迁移，从而取代了对流迁移。

对流和分子扩散在迁移中所占的优势可用贝克莱特(Peclet)数(Pl)来判别。

含油气盆地水文地质研究

式中：υ为渗透速度；d为表示多孔介质特征参数，在圆球形介质中做试验时，可取球粒直径；Dm为分子扩散系数。

很显然，根据Pl 可以判断物质在地下水圈中迁移类型：当Pl ＜n×10-2(n＜5)时，以分子扩散占优势；Pl ＞10时，以对流迁移占优势；n×10-2＜Pl＜10时，物质迁移具有混合性质。据经验资料，在粘土质岩中，当渗流速度大于10-6cm/d时，则以对流迁移占优势，扩散迁移次之(图4-3)。

从图4-3可以看出，在地下水交替比较活跃的地质构造范围内，物质迁移主要以对流迁移占优势。

图4-3 渗流和扩散状态的优势分布图

1—岩石中物质迁移场；2—地质构造内物质扩散场；3—活动水交替带；4—较活动水交替带；5—缓慢流动水交替带；6—极缓慢流动水交替带

物质迁出系数=扩散系数(D)/扩散带厚度(L)

冀中坳陷古近系含水岩系的发育过程和地下水的形成历史，可进一步说明深层地下水在纵向上的运动和物质的扩散-对流迁移在地质历史发展中是持续不断进行的。例如，冀中坳陷始新统含水岩系的埋藏条件为半封闭型的水文地质结构，由大气降水和地表水补给，随时间的推移，至渐新世末期，其裸露区已趋萎缩，地下水的补给区只限于坳陷边缘，而其内部 Es4。的裸露区已成为地下水的排泄带。渐新统(Es3，Es2，Es1)含水岩系，在古近纪末均是半封闭型的水文地质结构，就其地质历史发展而言，其半封闭程度由强变弱。新断裂、古断裂、边界断裂发育，切割或贯通了各含水层，使上下含水层发生水力联系。新近系和第四系含水层，基本上继承着渐新世末期的古水动力场，地下水接受周边山区(太行山和燕山)的降水和地表水补给，而深层地下水沿着新构造活动断裂带、裂隙向上传递热能，从而改变或影响着第四系地下水的温度、水文地球化学场及古水动力场，形成与深部流体有关的水文地球化学场。

在上述内在因素和外部条件的控制下，处于高温、高压环境的高浓度油田水中的组分，必然沿着一定的通道向低温、低压、低浓度的浅层地下水进行长期而缓慢的迁移，形成特殊的水文地球化学场。也就是说，在一定的深度范围内，由深到浅，存在着一个天然流体的“推挤-抽吸”系统。

布朗运动的金融数学

将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的几何布朗运动（geometric browmrian motion）。