体现数学抽象的例子

数学是一门抽象的学科，它研究的是符号和形式，而不是具体的对象。数学的抽象性是它强大和美丽的来源，它为我们提供了一种思考和解释世界的方式。在本文中，我们将从多个角度来探讨一些体现数学抽象的例子。

体现数学抽象的例子

例子1：数学符号

数学中最典型的抽象体现就是符号。例如，我们用“+”表示加法运算，用“×”表示乘法运算，用“π”表示圆周率等等。这些符号比起具体的数字和事物来说，更为抽象。它们能够在不同的领域中被使用，例如物理、化学和工程等。这些符号使得数学可以描述广泛的现象和问题，而不仅仅局限于一些具体的情境。

例子2：向量和矩阵

我们也可以将向量和矩阵作为另一个体现数学抽象的例子。向量和矩阵是由数值组成的短序列和长序列，它们被广泛应用于物理学、工程学和计算机科学。向量和矩阵是一种抽象的数学概念，它们在不同领域中都有类似的定义和用途。在数学中，矩阵和向量的个别元素是并不重要的，它们之所以重要是因为它们是在具有相同结构的序列中被使用。通过它们的抽象概念描述，向量和矩阵能够处理各种复杂的问题和现象。

例子3：拓扑学

拓扑学是探讨空间形态的一个分支领域。它的研究方向是非常广泛的，它从一些基本的概念开始，例如点、线和面，然后发展到更加丰富和抽象的结构。拓扑学研究的空间通常不是以笛卡尔坐标系表示，而是通过描述其结构和相关的性质。这种抽象概念使得拓扑学有许多实际应用，例如计算机科学和物理学等。通过抽象概念描述的拓扑学，使得我们可以更好地理解和研究空间的性质和结构。

结论

总之，数学的抽象性是它能够在许多不同的领域中应用的重要原因。数学中的符号和概念是抽象的，但正是这种抽象性赋予了它们不同领域的通用性和适用性。在这篇文章中，我们从数字和物理学中的例子，向量和矩阵的例子以及拓扑学的例子出发，分析了数学抽象的不同方面。

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如何培养学生的数学抽象能力

培养学生的数学抽象能力
1、让学生经历应用数学的过程，体会数学的应用价值 从学生所熟悉的现实生活出发，把具体的实际问题抽象成数学问题，再把它应用到新的现实问题情境中，让学生经历数学的应用过程，加深对数学知识的理解，是提高学生应用能力的重要方法。

例如，北师大版七年级上册中“用正方形的纸折一个无盖的长方体，使其体积最大”这一问题，教学时先从学生熟悉的折纸活动开始，通过操作、分析和交流，形成问题的代数表达；再通过收集有关数据，以及对不同数据的归纳，猜测“体积变化与边长变化之间的关系”；然后通过交流验证等活动，得到问题的答案，最后对求解的过程进行反思。在这一过程中学生体会到各方面知识的联系，经历了发现问题，从数学角度分析问题，并探索解决问题的过程，使学生体验了数学知识的应用价值。在此过程中要切忌由教师全盘端出，同时还应引导学生结合所学知识探索更多类似可以应用的实际问题和相关背景，使学生综合应用知识的能力得到提高。
2、引导学生从数学角度认识理解事物，培养提出问题的能力 为了提高学生解决问题的能力，首先应从数学角度对现实世界进行描述，找到其中与数学有关的因素，探索其中的规律，进一步从数学的角度提出问题、发现问题并寻求解决问题的办法。
又如学习了一次函数后，可以鼓励学生从数学的角度提出一些与出租车有关的问题进行探讨，诸如，车费与行驶路程、等候时间、起步价有关；耗油量与行驶路程有关等等，提出自己不同的见解，最后共同解决问题。这样就可以拓展学生的思维，在更深的层次上认识所学的内容。
3、通过搜集数学应用的事例，加深对数学应用的理解和体会
在教学过程中，教师可以自己搜集有关资料介绍给学生，也可鼓励学生自己通过多种渠道搜集数学知识应用的具体案例，并互相交流。例如：七年级数学上册中在学习“截一个几何体”时，给学生介绍医学诊断上的一个重要仪器“CT”，它应用的就是一种与“截几何体”类似的仪器和方法。在学习了统计中的众数、中数、平均数、频率等概念之后，教师可有计划地安排学生调查、收集本市去年的气温变化数据，这就需要学生自行分工收集资料，对去年每月的气温数据进行整理、分析，绘制出折线统计图和频率分布表，并对统计图表中的数据进行分析表述，最后进行汇报交流。

国外 小学数学课堂教学中抽象问题形象化的研究有哪些？

1.小学数学教学现状分析
教师教学质量差是传统数学教学存在的一个普遍问题。在传统的教学中，教师占据着主导地位，决定着教学的进程、内容和方法，师生之间缺乏有效的交流和互动，长此以往的下去会严重阻碍教学的顺利进行。除了陈旧的教学模式以外，数学学科特点和小学生自身的发展规律也是影响数学教学前进的一大因素。小学阶段的学生还处于身心发展的关键时期，对任何实物都充满了好奇 ，他们对自己不感兴趣的事物，很难集中去学习。和小学其它学科相比，数学知识具有一定的抽象性和逻辑性，需要集中学生的时间和精力去思考，这就增加了教学的难度。而新时期，教师要积极转变教学模式，以学生的兴趣为出发点开展教学，努力提升小学数学教学效率。
2.小学数学教学中问题导向教学的必要性
2.1符合新课改要求
新课改背景下的小学数学教学中，要求教师要加强对学生自主学习能力的培养，要让学生具有自主学习及发展的能力，也只有这样学生才能够成为将来对社会发展有助力的人才。而将问题导向运用到小学数学课堂教学中，老师可以通过问题引导学生进行自主探究与合作学习，能让学生对知识形成的过程、知识的运用等进行全面了解，提高小学生数学的实效性。所以，加强对问题导向教学研究的重视度，能够对学生的自主发展能力进行有效培养。
2.2符合学生的发展需求
小学生虽然年龄较小，但他们的求知欲望也很强烈，传统的小学数学教学中，老师通常注重对理论知识的讲解，即使喜欢利用问题来教学，也仅将之作为一种活跃课堂教学氛围的手段，并未将之引导学生深入学习的作用发挥出来。而在新时期的小学数学教学中，将问题导向运用到小学数学教学中，能为学生的学习提供积极的引导，而老师也能够根据学生对问题探究及解决的情况，对学生进行针对性的指导，这将更加符合学生的实际发展需求，促使学生具有长久发展的能力。
3.小学数学课堂中问题导向教学研究
以问题为导向开展小学数学教学具有明显的优势，它不仅能够促使学生积极参与其中，还能弥补传统教学的不足。第一，以问题为导向，明确了学生的主体地位。在开展教学过程中，学生的主体地位得以明确，在教师的引导下进行积极的学习，这和传统教学相比，优势尽显。而在以问题为导向的实际教学中，大都根据学生的基本学习去调整教学内容，以为学生的日后学习奠定坚实的基础。第二，和传统的教学过程相比，以问题为导向有着自己独特的教学过程，教师可以设置预习作业强化学生的思考和自主学习实践，还可以以合作方式加强师生、生生间的交流，对学生逻辑思维的发展有着积极的作用。第三，在这种教学模式下，可以有效提升学生的自主学习能力，有助于学生日后的学习和发展，可以帮助学生建立完整的数学知识体系。第四，在解决问题和学生自省过程中，养成科学严谨的学习态度，如此可以有效增强学生的实践能力，这些良好的习惯和科学的态度可以助力学生在数学学习上走得更高、更远。
3.1基于学情，合理导入数学问题
小学阶段的学生由于生活经验和阅历尚浅，在对外界事物的认知上存在一定的局限，这就加大了数学教学难度。为此，教师要根据学生的实际情况和发展规律来突破数学教学难题。为了解决小学生形象思维和数学抽象思维之间的矛盾，教师可以合理地融入情境，让学生置身于情境中去展开联想，以为问题的解决创造良好的条件。情境教学是小学数学常用的一种方法，它可以有效提升教学质量。在以问题为导向的小学数学教学中，教师要有意识地创设情境，以此来导入问题，并有效调动学生的参与度。例如在教学《倍的认识》这节内容的时候，教师就可以借助多媒体为学生营造良好的情境，并在教学中导入问题：小白兔有胡萝卜2根，小灰兔有红萝卜6根，而小黑兔有白萝卜10根，这么多的萝卜，你能找出他们之间的数量关系吗？除了用多和少表示之外，还可以用什么表示呢？再如在学习《小数的加法和减法》这部分内容时，老师就可以利用多媒体为学生呈现不同的内容，如3个棒棒糖，每个棒棒糖的价钱是0.8元，9个苹果，每个苹果的价钱是2.8元，将这些内容呈现在一起，出示38.2元钱，问学生能够对这些问题如何重组，让学生提出合理的问题。上述这两个例子都是在特定的情境中，教师提出启发性的数学问题，促使学生积极的思考，其中，不仅让学生感受到了学习的乐趣，还在具体情境自主提出了问题和解决了问题，深化了对数学知识的理解。
另外还可以采取设疑导入法。此种方法的运用不能有任何的随意性，而是要在学生对新旧知识有矛盾时，或者学生的观点对立时引出问题，为学生营造一种“心求通而未得通”的情境，这样的情境能更快速调动学生的思维，让学生的思维更加活跃起来。而在整个设疑导入过程中，老师还需要对学生进行有技巧的引导，以便于帮助学生快速进入到思考与解决问题中。比如在学习《小数的加法和减法》这部分内容时，老师就可以问学生小数的加减法和整数的加减法有什么区别，此问题能够让学生处于矛盾学习状态，这样的设疑导入情境，能让学生对两者产生探究兴趣，进入到本节课的学习中，从而对两者的区别进行了解。
3.2构建和谐、轻松的氛围
在以问题为导向的教学研究中，恰当的导入是教学的第一步，也是启发学生思维的开始，可以让学生对章节内容有一个基本的了解。而在教师抛出问题之后，轻松愉悦、积极奋进的学习氛围的构建非常重要，这是由小学生自身强烈的求知欲和表现欲所决定的，这一阶段的学生他们渴望表达自己的内心，希望得到师生的关注。在小学生这一自身特征的支持下，教师提出相应的问题之后，学生便会进入思考状态，并踊跃表达自己的观点。但由于小学生知识掌握程度的局限性，决定了他们的想法会存在不全面的情况。面对这一情形，教师要积极构建和谐、愉悦的氛围来突出学生的主体地位，以保持学生学习的积极性，鼓舞他们深入其中不断地完善自己。比如在教学《长方体》的时候，教师给出问题：加工一个长方体铁皮烟囱，长2.5dm，宽1.6dm，高2m，至少要用多少平方分米铁皮？对于问题的解答，学生们积极表达自己的看法，而教师也要给足学生探索的机会，对于学生的错误解答，教师要在肯定他们勇敢表达的基础上，用恰当的方法指出他们的错误，以鼓舞他们再接再厉。另外，老师还可以故意出示错误的问题，让学生自主参与到纠错及提出改正建议之中，此过程中无论学生指出的问题正确与否，都要及时肯定与鼓励，让学生保持此种质疑、分析及解决问题之中。
3.3积累数学问题素材
高质、高效的数学课堂应该是让学生尽情地表现和发挥，以更加高效地理解数学知识，进而获得更快的增长。以问题为导向的小学数学课堂，则为这一教学任务的完成提供了有利的条件，而为了更好地开展教学，教师要注重发挥问题的导向作用，用合适的问题，符合学生发展的问题来满足学生的求知欲望，并能促使学生积极地参与其中，进而为高质、高效数学课堂的构建提供有利保障。以问题为导向的数学教学，要依托于丰富的问题素材，多重多样的素材才能让数学知识得以更好的延伸，同时也能有效拓宽学生的知识面。在数学素材的积累上，教师要认真研究教材内容，从中探寻和生活相联系的数学问题，并采取针对性的方法进行开展。另一方面，教师要立足学生的实际生活，深挖生活素材，以提升学生解决实际问题的能力，并达到学以致用的教学目的。例如，在学习“图形的运动”这节内容的时候，教师便可以用生活实物作为问题素材，让学生思考：这类图形具有什么共同特点？

如何从生活实例中抽象出数学概念

初中生对一些抽象数学概念的接受，往往需要从具体的实例出发，表现出对具体材料的依赖性。数学尽管抽象，但有广泛的具体性。在教学中，教师完全可以凭借十分具体的素材建立模型，列举足够数量的实例，让学生自己通过观察、提出猜想，再动手量量、画画、做做，最后总结出结论。 义务教育教科书很重视实例的教学作用。例如，通过列举温度、海拔高度、水库水位、物体运动、商品的重量和大小等多个实例，在学生对“相反意义的量”有了感知的基础上，才引入正、负数的概念。这样做，学生是乐于接受，也易于接受的，再如通过与分数运算相对比，让学生理解和掌握分式运算。皮亚杰认为：“传统数学的缺点，在于往往口头上讲解，而不是从实际操作开始数学教学。” 让学生实践操作是针对学生“对具体素材的依赖”这一思维的局限性提出的。有经验的教师都会要学生自己亲手将三角形纸片的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，从而抽象出三角形内角和的定理。即使是对一些没有确定结论要我们进行探索的抽象问题，只要能“动手操作”，就不妨一试，问题可能会变得具体、简单。义务教育初中几何第二册中有一道“想一想”的问题：以３根火柴为边，可以组成一个三角形，用６根火柴能组成４个三角形吗？由“火柴”很容易激发学生动手操作，经过在桌面上和在空间中的操作实验，学生有了实感，也就不难得到实验结果。 在数学教学中，我们会碰到有些概念、规律并不一定都是从具体实例引出的，而是现有的知识经过运算、推演的结果，纵然如此，教师还要恰当选择实例，作为理解抽象概念和规律的补充。由此可见，从具体实例出发，是学生思维特点的需要，也符合抽象性和具体性的基本关系，有利于学生理解抽象结论。从具体出发，并不是迁就学生思维的局限性，而是有其积极意义的。

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